Arbeitsgebiet: Algebraische Geometrie

Algebraic geometry seems to have acquired the reputation of being esoteric, exclusive, and very abstract, with adherents who are secretly plotting to take over all the rest of mathematics. In one respect this last point is accurate.
— David Mumford

Die Algebraische Geometrie ist eines der ältesten und gleichzeitig eines der aktivsten Forschungsgebiete der Mathematik. Vereinfachend gesprochen geht es in der algebraischen Geometrie um das Studium geometrischer Räume, die durch besonders einfache Gleichungen beschrieben werden, aber eine sehr komplizerte Geometrie besitzen können. Für viele Mathematiker ist das Gebiet besonders faszinierend, weil Anschaung und geometrische Intuition genau so wichtig sind wie hochabstrakte Begriffsbildungen der modernen Algebra und und Zahlentheorie.

Neben Verbindungen zur Differentialgeometie hat Algebraische Geometrie viele Anknüpfungspunkte zu anderen Gebieten der Mathematik, wie etwa der Zahlentheorie, der Topologie, der Darstellungstheorie und der komplexen Analysis. Algebraische Geometrie spielt aber auch in einigen Bereichen der theoretischen Physik eine wichtige Rolle und ist ein unerläßliches Hilfsmittel für moderne Datensicherheit und Verschlüsselungstechnik geworden.

Beispiel: Diagonalfläche von Clebsch

Das Bild unten zeigt die Diagonalfläche von Clebsch. Das ist eine Fläche $S$, die als Nullstellenmenge einer Gleichung von Grad drei gegeben ist. Der Mathematiker verwendet für eine technisch korrekte Definition „projektiven Koordinaten“ und schreibt $$S = \{ [x:y:z:w] \in \mathbb P^3 : (x+y+z+w)^3 = x^3 + y^3 +z^3+w^3 \}.$$ Es ist seit Mitte des 19. Jahrhunders bekannt, dass jede Fläche von Grad drei genau 27 Geraden enthält. Drei dieser Graden sind im Bild eingezeichnet. Sehen Sie die fehlenden 24 Geraden? Die Symmetrie der Fläche kann Ihnen helfen!

Besucher des Mathematischen Instituts der Albert-Ludwigs-Universität Freiburg finden im Flur auf der 3. Etage ein Gipsmodell der Clebschen Diagonalfläche, auf dem alle 27 Graden eingezeichnet sind.

Links

  • Die Seite Imaginary des Mathematischen Forschungsinstitutes Oberwolfach enthält neben sehr schönen Bildern noch viele interaktive Programme, mit denen sich mathematische Sachverhalte anschaulich darstellen lassen.