SS17: Vorlesung Algebraische Geometrie II

Aktuell

  • Die Übung findet dienstags 10-12 Uhr in Raum 414 statt.

Material

Alles Material zur Vorlesung (Übungsblätter, Zusatzinformationen, Skripte, …) finden Sie hier. Das Passwort wird in der Vorlesung bekannt gegeben.

Weiterführende Links

  • Die Referenz zum Thema „Algebraische Flächen“ ist das folgende Buch: Barth, Hulek, Peters, Van de Ven: Compact Complex Surfaces, Springer Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete / A Series of Modern Surveys in Mathematics, Volume 4, 2004. Download hier.
  • Prof. Andreas Gathmann aus Kaiserslautern hat ein extrem gutes Skript zur Algebraischen Geometrie.

Themen der Vorlesung

  • Wiederholung: Geradenbündel und Divisoren

Schnittzahlen, Ampleness und mehr

  • Schnittzahlen von Divisoren auf Flächen
    • Rechenregeln für Schnittzahlen
    • Verhalten von Schnittzahlen unter endlichen Abbildungen
    • Schnittzahlen hängen nur von der linearen Äquivalenzklasse ab
    • neues Phänomen: Selbstschnittzahl
  • Basispunkte und basispunktfreie Geradenbündel
    • Konsequenzen der Basispunktfreiheit für Schnittzahlen
    • Konstruktion von Morphismen
  • Sehr Ample und Ample Geradenbündel
    • Das Kriterium von Nakai und Moishezon
    • Das Kriterium von Serre
    • Rechnungen zum Warmwerden: $L$ ample, $D$ irgendein Divisor $\Rightarrow$ $nL+D$ is ample für alle ausreichend großen $n$

Die großen Sätze über Kohomologie auf Flächen

  • Die großen Sätze: Serre-Dualität, Riemann-Roch, Noether’s Formel, Kodaira-Vanishing, Endlich-Dimensionalität der Néron-Severi Räume
  • Erste Anwendungen zum Warmwerden
    • Divisoren $D$ mit positivem Selbstschnitt, $D^2 > 0$. Das Hodge Index Theorem
    • Diskussion: Mikowski-Geometrie auf dem Néron-Severi Raum
  • Die Hodge-Zerlegung
    • Einschränkungen für Betti-Zahlen und Fundamentalgruppe
    • Kompaktheit von $\operatorname{Pic}^0$

Noch einmal Schnittzahlen und Ampleness

  • Die Räume $N^1(X)_{\mathbb R}$ und $N_1(X)_{\mathbb R}$ für projektive Mannigfaltigkeiten.
  • Der Mori-Kegel, der Nef-Kegel, der Pseudoeffektive Kegel.
  • Duale Kegel
  • Selbst-Dualität des „Lichtkegels“ $C^+$
    • Nef-Divisoren haben nicht-negativen Selbstschnitt
    • Das Ampleness-Kriterium von Kleimann
    • Offenheit von Ampleness, der Nef-Kegel als Abschluss des amplen Kegels

Die birationale Geometrie von Flächen

  • Aufblasungen von Varietäten
    • Elementare Konstruktionen
    • Konstruktion der Aufblasung einer allgemeinen Varietät in einer Garbe von Idealen
    • Die Universelle Eigenschaft: Aufblasungen machen Idealgarben lokal prinzipal
  • Aufblasungen von Flächen
    • Interpretation der exzeptionellen Menge als projektivierter Tangentialraum
    • Verhalten von Kurven unter Aufblasungen, Desingularisierung
    • Schnittzahlberechnungen
      • Divisoren, Néron-Severi-Raum und Picard-Gruppe einer aufgeblasenen Fläche
      • „Aufblasungen machen Divisoren disjunkt“
      • „Aufblasungen verkleinert Selbstschnittzahl“
      • „Aufblasungen machen rationale Abbildungen zu Morphismen“
    • Seshadri-Konstanten, Ample Divisoren auf Aufblasungen
  • Starke Faktorisierung: jede birationale Abbildung entsteht, indem man erst aufbläst, dann zusammenbläst.
  • Der Satz von Castelnuovo: jede exzeptionelle Kurve erster Art entsteht durch Aufblasung einer glatten Fläche.
  • Die Kodairasche Dimension $\kappa(X)$
  • Die birationale Geometrie von Flächen mit $\kappa \geq 0$
    • Minimalität versus nefness des kanonischen Bündels
    • Diskussion des Mori-Kegels
    • Eindeutigkeit minimaler Modelle
    • Weiterführende Methoden
      • Abundance
        • „Zusammenblasungen vernichten den Basisort von $|m\cdot K_X|$“.
        • Ein erster Blick auf elliptische Faserräume
      • Die Albanese-Abbildung
  • Die birationale Geometrie von Flächen mit $\kappa = -\infty$
    • Nicht-Eindeutigkeit minimaler Modelle
    • Diskussion des Mori-Kegels und seiner extremalen Strahlen

Kurzausblick: birationale Geometrie in höheren Dimensionen

  • Diskussion
    • Was soll das MMP überhaupt machen?
    • Wie sollte der Satz von Castelnuovo in höheren Dimensionen aussehen? Und wie sollte er bewiesen werden?