SS20: Knotentheorie

Mathematische Knoten sind stetige injektive Abbildungen $S^1 \to S^3$ bzw. in höherdimensionaler Verallgemeinerung $S^n \to S^{n+2}$. Die Knotentheorie beschäftigt sich mit der Frage nach Invarianten, die direkt aus einem Knotendiagramm berechenbar sind und mit denen man verschiedene Knoten voneinander unterscheidenkann. Das Ziel des Seminars ist es, einige der topologischen und algebraischen Invarianten von Knoten kennenzulernen. In diesem Zusammenhang geht es natürlich auch darum, einige Grundbegriffe der algebraischen Topologie (Fundamentalgruppen, Homologie) kennenzulernen bzw. zu vertiefen. Einige algebraische Ausflüge zu Zopfgruppen, Hecke-Algebren und polynomialen Knoten runden das Seminar ab.

Vorbesprechung

Montag, 10. Februar 2020, 10:15 Uhr im Seminarraum SR125, Ernst-Zermelo-Straße 1.

Vortragsliste

1Einführung: Zöpfe, Links, Knoten (letztere für allgemeine Dimensionen); Definitionen und Beispiele; Äquivalenzrelationen: (orientierte) Äquivalenz, Umgebungsisotopie (ambient isotopy) [Rol03, Kapitel 1]
2Fundamentalgruppe: kurze Einführung Überlagerungstheorie, Definition Fundamentalgruppe als Decktransformationen der universellen Überlagerung, alternative Definition über Pfade und Homotopie, Äquivalenz beider Definitionen[Hat02, Kapitel 1.1, 1.3]
3Eerste Invariante: Fundamentalgruppe von Knotenkomplementen. Amalgame, Satz von Seifert-van Kampen. Beispiel Torusknoten.[Hat02, Kapitel 1.2] für Seifert-van Kampen, [Rol03, Kapitel 3.A-C] für Knotenkomplemente, Torusknoten
4Wirtinger-Präsentation für Knoten und Links (mit Beweis und Beispielen). Evtl. auch Dehn-Präsentation und Beziehung zur Wirtinger-Präsentation.[Rol03, Kapitel 3.D, 3.F]
5a 5bDehn-Lemma: nur der Unknoten hat triviale Knotengruppe (fortgeschritten, Grundkenntnisse Topologie erforderlich). Einführung PL-Topologie (Zellkomplexe) und Beweisskizze des Dehn-Lemmas nach Papakyriakopoulos.[Rol03, Appendix B], s. auch [SW58]
6Kurze Einführung in simpliziale und zelluläre Homologie, homologische Algebra, Kettenkomplexe, Mayer–Vietoris-Sequenz.[Hat02, Kapitel 2.1,2.2]
7Seifert-Flächen, Konstruktion, abelsche Überlagerung, linking number. Beispiele.[Rol03, Kapitel 5.A,C,D]
8Die zweite Invariante: Alexander-Modul und Alexander-Polynom, Beziehung zur Fundamentalgruppe (untere zentrale Reihe) Beispiel-Rechnungen[Rol03, Kapitel 7.A,B,D]
9Matrizen-Invarianten, Alexander-Matrizen für Präsentation, Torsions-Invarianten[Rol03, Kapitel 8.A-D]
10Definition Zopf-Gruppe, Iwahori–Hecke-Algebra, Darstellungen der Iwahori–Hecke-Algebra (Burau-Darstellung). (bei Interesse: Wort- zw. Konjugationsproblem, Zopfgruppen-Kryptographie, Garside-Normalform)[Big06, KT08]
11Definition Jones-Polynom als Knoteninvariante, ausgehend von Darstellungen der Iwahori–Hecke-Algebra.[Big06], [Kaw96, Kapitel 8/9]
12Whitehead-Link, Whitehead-Mannigfaltigkeit in geometrischer Topologie als zusammenziehbare 3-Mannigfaltigkeit, die nicht homöomorph zum ${\mathbb R}^3$ ist.[Whi35], siehe auch hier

Literatur

[Big06]S. Bigelow. Braid groups and Iwahori–Hecke algebras. In: Proc. Symp. Pure Math 74
(2006). 285–299. http://web.math.ucsb.edu/~bigelow/job/10braidhecke.pdf
[DO’S06]A. Durfee und D. O’Shea. Polynomial knots. arXiv:math/0612803.
[Hat02]A. Hatcher. Algebraic topology. Cambridge University Press, 2002. https://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html,
[Kaw96]A. Kawauchi. A survey of knot theory. Birkhäuser 1996.
[KT08]C. Kassel und V. Turaev. Braid groups. Graduate Texts in Mathematics 247, Springer 2008.
[Rol03]D. Rolfsen. Knots and links. Amer. Math. Soc., 1976 (reprint 2003).
[Sha92]A. R. Shastri. Polynomial representations of knots. Tohoku Math. J. 44 (1992), 11–17.
[SW58]A. Shapiro und J.H.C. Whitehead. A proof and extension of Dehn’s lemma. Bull. Amer. Math. Soc. 64 (1958), 174–178.
[Whi35]J.H.C. Whitehead. A certain open manifold whose group is unity. Quaterly J. Math. 6 (1935), 268–279.

Material

Einige Materialien zum Seminar finden Sie hier.