WS1617: Vorlesung Algebraische Geometrie

Aktuell

  • Die mündlichen Prüfungen finden direkt im Anschluß an die Vorlesungszeit statt.
    • Termin: Donnerstag, der 16. Februar 2017
    • Dauer der Prüfung ist in der Regel nicht mehr als 30 Minuten.
    • Sie können 6 Übungsaufgaben aus 6 verschiedenen Übungsblättern nennen. Ich wähle eine Aufgabe aus, wir sprechen dann 10-15 Minuten über diese Aufgabe.

Material

Alles Material zur Vorlesung (Übungsblätter, Zusatzinformationen, Skripte, …) finden Sie hier. Das Passwort wird in der Vorlesung bekannt gegeben.

Weiterführende Links

  • Mit dem Programm Surfer können Sie algebraische Flächen zeichnen.
  • Hier gibt es ein Applet zum Satz von Pascal über Sechsecke in Kegelschnitten.
  • Mit dem Programm Elliptic Curve Plotter können Sie mit dem Gruppengesetz auf kubischen Kurven spielen.
  • Prof. Andreas Gathmann aus Kaiserslautern hat ein extrem gutes Skript zur Algebraischen Geometrie.
  • Referenz für Serre-Dualität: Serre, Algebraic Groups and Class Fields, Springer Graduate Texts in Mathematics, Abschnitt II.5. Kann aus dem Universitäts-Netzwerk heruntergeladen werden. Ravi Vakil hat einen Seminarvortrag zum Thema gehalten, der hier heruntergeladen werden kann.

Übersicht Vorlesungsinhalte

  • 00 – Wiederholung einiger wesentlicher Begriffe

Kapitel I: Ebene algebraische Kurven

  • 01. Der Fundamentalsatz von Max Noether: $AF+GH$
  • 02. Varietäten, Morphismen und rationale Abbildungen: Etwas Ordnung im Zoo der Varietäten
    • 1. Varietäten
    • 2. Morphismen und Isomorphismen von Varietäten
    • 3. Rationale Abbildungen
    • 4. Rationale Abbildungen zwischen Kurven
    • 5. Zusammenstellung der Fakten über birationale Äquivalenz von Kurven
  • 03. Der Satz von Riemann-Roch
    • 1. Divisoren
    • 2. Die Räume $L(D)$ und das Geschlecht algebraischer Kurven
      • 2.1. Einschub: Kurven über $\mathbb C$ und die Bedeutung der Invariante $g$
      • 2.2. Berechnung des Geschlechts
    • 3. Der kanonische Divisor
    • 4 Der Satz von Riemann-Roch

Kapitel II: Kohomologische Methoden in der Algebraischen Geometrie

  • 04. Garben
    • 1. Definition von Garben und Morphismen von Garben
    • 2. Beispiele
      • 2.1 Konkrete Beispiele
      • 2.2 Vektorbündel
      • 2.3 Geradenbündel und Divisoren
      • 2.4. Garben von $\mathcal O_X$-Moduln, kohärente Garben
  • 05. Kohomologie
    • Motivation: nicht-Exaktheit des Schnittfunktors
    • Čech-Kohomologie
    • Kurze exakte Sequenzen von Garben und lange exakte Sequenzen von Kohomologiegruppen
    • Der Satz von Leray und die Kohomologie von quasikohärenten Garben auf algebraischen Varietäten
    • Erste Anwendung: die trikanonische Abbildung
    • Beispielrechnung: für eine glatte, projektive Kurve $X$ ist $H^1(X, \mathcal O_X)$ endlich-dimensional.
    • Serre-Dualität
      • Repartitionen (=Adèle) und Kohomologiegruppen
      • Differentiale und Residuen