WS1920: Lineare Algebra

Aktuelles

  • Montag, 21Oct19: Wegen des Feiertags am 1. November ist Übungsblatt 1 bereits am Donnerstag, 31Oct19 bis 10 Uhr abzugeben, siehe Abgabedetails auf dem Übungsblatt.
  • Dienstag 22Oct19: Bei Fragen zum Übungsbetrieb und Ähnlichem hilft Ihnen Andreas Demleitner weiter.
  • Montag 04Nov19: Blatt 02, Aufgabe 4 (d): Es heißt „Ist $g \circ f$ surjektiv, so ist $g$ surjektiv.“

Termine

  • 02Mar20, 12:00 – 16:00: Klausurtermin. Die Klausur findet gleichzeitig in mehreren Räumen statt. Wir teilen ihnen noch rechtzeitig mit, wohin Sie kommen müssen. Es wird eine „Probeklausur“ geben
  • 21Jul20, 10:00 – 14:00: voraussichtlicher Termin für die Nachschreibeklausur.

Dinge, die Sie gleich in der ersten Woche erledigen müssen

  • Schauen Sie sich im Bereich „Materialen“ den Syllabus noch einmal an. Bitte melden Sie sich bei Demleitner oder mir, wenn Sie Fragen haben. Es gibt durch die ununterbrochene Reform der Studiengänge derart viele Studienordnungen, dass wir bestimmt einige Spezialfälle/Sonderregelungen übersehen haben.
  • Melden Sie sich bei HISinOne für Studienleistung und Prüfungsleistung an. Das ist aus vielen Gründen wichtig. Wir verwenden HISinOne unter anderem auch, Sie per e-mail zu erreichen (wenn z.B eine Übungsgruppe kurzfristig ausfällt, oder wenn und klar wird, dass eine Übungsaufgabe falsch gestellt war).
  • Melden Sie sich zusätzlich bei HISinOne für die Übungsgruppen an.

Materialien

Alle Materialien zur Vorlesung finden Sie hier.

Literatur

Es gibt eine riesige Auswahl an Büchern, die alle „Lineare Algebra“ im Titel tragen, und die sich alle sehr ähnlich sind. Jedes dieser Bücher ist gut.

Im Buch von Beutelspacher geht es nicht um Lineare Algebra. Das Buch erklärt Ihnen, wie sie einen mathematischen Text schreiben. Aus dem Universitätsnetz können sie viele Lehrbücher kostenlos (und legal!) herunterladen. Die Springer-Lehrbücher finden Sie hier: link.springer.com. In der Bibliothek kann man Ihnen weiterhelfen.

Im Internet finden Sie viele hunderte von Skripten, die sich ebenfalls alle sehr ähnlich sind. Bei den Materialien haben wir einige der Skripte für Sie zusammengestellt.

Videos

Das Internet ist voller Erklärvideos, viele davon recht gut. Mir gefallen viele der Erklärungen von Jörn Loviscach (https://j3l7h.de) und viele der Videos des MIT (https://ocw.mit.edu/courses/mathematics). Es gibt aber noch viele, viele andere Quellen. Lassen Sie mich wissen, wenn Sie etwas Interessantes finden.

Lerninhalte

Hier finden Sie unsere Planung für die Lerninhalte der Vorlesung bis etwa Weihnachten. Die Planung ist vorläufig, die tatsächliche Vorlesung kann hiervon abweichen.

§1 Aussagenlogik

  • Aussagen, Verknüpfungen, Verneinungen
  • Verneinung von Aussagen des Typs „Für alle Elemente einer Menge gilt Eigenschaft $Z$“ und „Es gibt ein Element, so dass …“

§2 Mengen

  • Notation zum Aufschreiben von Mengen
  • Teilmengen, Komplemente und Differenzen
  • Produktmengen
  • Äquivalenzrelationen, Äquivalenzklassen, Vertreter (=“Repräsentanten“), Quotienten

Beispiele zum Aufschreiben von Beweisen

  • Wie beweise ich eine Aussage vom Typ „Für alle $x$ in $A$ gilt Eigenschaft $Z$“
  • Beweis durch Widerspruch.

Abbildungen zwischen Mengen

  • Definition
  • Injektiv, Surjektiv, Bijektiv
  • Verkettungen. Umkehrbare Abbildungen.

Motivation: worum geht es in dieser Vorlesung

§ 3 Gruppen-Zahlen-Körper

  • Definition einer Gruppe, Abelsche Gruppen
  • Beispiele: die Gruppe der bijektiven (Selbst-)abbildungen einer Menge.
  • Beispiele für Körper
    • Die reellen Zahlen: $\mathbb R$
    • Die rationalen Zahlen: $\mathbb Q$ (Konstruktion als Äquivalenzklassen; Definition der Verknüpfungen „auf Repräsentantenebene“ und Beweis der Wohldefiniertheit)
    • Komplexe Zahlen: $\mathbb C$
    • Endliche Körper, insbesondere $\mathbb F_p$

§4 Vektorräume

  • Definition von Vektorräumen
  • Beispiele

Untervektorräume

  • Beispiele

Linearkombinationen

  • Erläuterung von Linearkombinationen, linearer Abhängigkeit, Basis und Koordinaten am Beispiel
  • Notationen und Schreibweisen für Mengen von Vektore
  • Definition von Linearkombinationen
  • Erzeugendensysteme für Untervektorräume, der Span einer Menge von Vektoren
  • Lineare Unabhängigkeit

Basis eines Vektorraumes

  • Definition
  • Äquivalente Charakterisierungen (max. lin. unabhängige Teilmenge, min. erzeugende Teilmenge, etc.)

§6 Dimension

  • Endlich- und unendlich-dimensionale Vektorräume
  • Definition der Dimension
  • Beweis, dass ein Vektorraum nur eine Dimension hat
    • Austauschlemma
    • Austauschsatz
    • Korollare, Eindeutigkeit der Dimension
  • Der Basisergänzungssatz für endlich-dimensionale Vektorräume
  • Beweis des Basisaustauschsatzes
  • Summe und direkte Summe von Untervektorräumen
  • Dimensionsformel
  • Charakterisierung von direkten Summen

§7 Koordinaten

§8 Lineare Abbildungen

  • Definition
  • Beispiele
  • Lineare Abbildungen sind durch Bilder von Basisvektoren definiert
  • Isomorphismen

§9 Matrizen

  • Definition, Beispiele
  • Zusammenhang: Matrizen und Lineare Abbildungen $k^n \to k^m$
  • Verknüpfung von Abbildungen und Matrixmultiplikation
  • Notation von linearen Abbildungen zwischen beliebigen Vektorräumen als Matrix
  • Wiederholung und Beispiele: Koordinaten von Vektorräumen, Matrizen und Lineare Abbildungen
  • Die Abbildungen $L$ und $M$

§10 Basiswechsel

  • Definition und Charakterisierung invertierbarer Matrizen
  • Die allgemeine lineare Gruppe
  • Koordinatenwechsel, Koordinatenübergangsmatrizen

§11 Kern, Bild und Rang

  • Definition von Kern, Bild und Rang
  • Die Dimensionsformel
  • Charakterisierung von isomorphen Abbildungen zwischen Vektorräumen gleicher Dimension
  • Normalform von Abbildungsmatrizen bei geeigneter Basiswahl

§12 Lineare Gleichungssysteme, Zeilentransformationen

  • lineare Gleichungssysteme und Matrizen
  • Zeilenoperationen und Elementarmatrizen
  • Zeilenstufenform, Gauss-Algorithmus
  • Rang, Zeilenrang und Lösbarkeit von Gleichungssystemen
  • Gleichheit von Rang und Zeilenrang
  • Kriterien für (eindeutige) Lösbarkeit eines Gleichungssystems
  • Berechnung der Lösungsmenge eines inhomogenen Gleichungssystems
  • Berechnung des Inversen einer invertierbaren Matrix

§13 Dualräume

  • Definition, Beispiele
  • Duale Basen
  • Die kanonische Abbildung eines Vektorraumes in seinen bidualen Raum
  • Unterräume und die zugehörigen Unterräume des Dualraumes
  • Rückzugsabbildungen. Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung vs. Darstellungsmatrix für den Rückzug bzgl. der dualen Basen
  • Das Bild einer Rückzugsabbildung und der Orthogonalraum des Kerns einer Abbildung