WS1920: Lineare Algebra

Aktuelles

  • Die Ergebnisse der Nachklausur sind jetzt auf der NextCloud online.
  • Die Klausureinsicht fuer die Nachklausur findet am 19. Oktober von 12-14 Uhr nach Anmeldung statt. Genaueres wird noch per E-Mail ueber HisInOne angekündigt. Bei Fragen wenden Sie sich bitte an Demleitner.

Materialien

Alle Materialien zur Vorlesung finden Sie hier.

Literatur

Es gibt eine riesige Auswahl an Büchern, die alle „Lineare Algebra“ im Titel tragen, und die sich alle sehr ähnlich sind. Jedes dieser Bücher ist gut.

Im Buch von Beutelspacher geht es nicht um Lineare Algebra. Das Buch erklärt Ihnen, wie sie einen mathematischen Text schreiben. Aus dem Universitätsnetz können sie viele Lehrbücher kostenlos (und legal!) herunterladen. Die Springer-Lehrbücher finden Sie hier: link.springer.com. In der Bibliothek kann man Ihnen weiterhelfen.

Im Internet finden Sie viele hunderte von Skripten, die sich ebenfalls alle sehr ähnlich sind. Bei den Materialien haben wir einige der Skripte für Sie zusammengestellt.

Videos

Das Internet ist voller Erklärvideos, viele davon recht gut. Mir gefallen viele der Erklärungen von Jörn Loviscach (https://j3l7h.de) und viele der Videos des MIT (https://ocw.mit.edu/courses/mathematics). Es gibt aber noch viele, viele andere Quellen. Lassen Sie mich wissen, wenn Sie etwas Interessantes finden.

Lerninhalte

Hier finden Sie unsere Planung für die Lerninhalte der Vorlesung. Die Planung ist vorläufig, die tatsächliche Vorlesung kann hiervon abweichen.

§1 Aussagenlogik

  • Aussagen, Verknüpfungen, Verneinungen
  • Verneinung von Aussagen des Typs „Für alle Elemente einer Menge gilt Eigenschaft $Z$“ und „Es gibt ein Element, so dass …“

§2 Mengen

  • Notation zum Aufschreiben von Mengen
  • Teilmengen, Komplemente und Differenzen
  • Produktmengen
  • Äquivalenzrelationen, Äquivalenzklassen, Vertreter (=“Repräsentanten“), Quotienten
  • Beispiele zum Aufschreiben von Beweisen
    • Wie beweise ich eine Aussage vom Typ „Für alle $x$ in $A$ gilt Eigenschaft $Z$“
    • Beweis durch Widerspruch.
  • Abbildungen zwischen Mengen
    • Definition
    • Injektiv, Surjektiv, Bijektiv
    • Verkettungen. Umkehrbare Abbildungen.
  • Worum geht es in dieser Vorlesung

§ 3 Gruppen-Zahlen-Körper

  • Definition einer Gruppe, Abelsche Gruppen
  • Beispiele: die Gruppe der bijektiven (Selbst-)abbildungen einer Menge.
  • Beispiele für Körper
    • Die reellen Zahlen: $\mathbb R$
    • Die rationalen Zahlen: $\mathbb Q$ (Konstruktion als Äquivalenzklassen; Definition der Verknüpfungen „auf Repräsentantenebene“ und Beweis der Wohldefiniertheit)
    • Komplexe Zahlen: $\mathbb C$
    • Endliche Körper, insbesondere $\mathbb F_p$

§4 Vektorräume

  • Definition von Vektorräumen. Beispiele
  • Untervektorräume. Beispiele
  • Linearkombinationen
    • Erläuterung von Linearkombinationen, linearer Abhängigkeit, Basis und Koordinaten am Beispiel
    • Notationen und Schreibweisen für Mengen von Vektore
    • Definition von Linearkombinationen
    • Erzeugendensysteme für Untervektorräume, der Span einer Menge von Vektoren
    • Lineare Unabhängigkeit
  • Basis eines Vektorraumes
    • Definition
    • Äquivalente Charakterisierungen (max. lin. unabhängige Teilmenge, min. erzeugende Teilmenge, etc.)

§6 Dimension

  • Endlich- und unendlich-dimensionale Vektorräume
  • Definition der Dimension
  • Beweis, dass ein Vektorraum nur eine Dimension hat
    • Austauschlemma
    • Austauschsatz
    • Korollare, Eindeutigkeit der Dimension
  • Der Basisergänzungssatz für endlich-dimensionale Vektorräume
  • Beweis des Basisaustauschsatzes
  • Summe und direkte Summe von Untervektorräumen
  • Dimensionsformel
  • Charakterisierung von direkten Summen

§7 Koordinaten

§8 Lineare Abbildungen

  • Definition
  • Beispiele
  • Lineare Abbildungen sind durch Bilder von Basisvektoren definiert
  • Isomorphismen

§9 Matrizen

  • Definition, Beispiele
  • Zusammenhang: Matrizen und Lineare Abbildungen $k^n \to k^m$
  • Verknüpfung von Abbildungen und Matrixmultiplikation
  • Notation von linearen Abbildungen zwischen beliebigen Vektorräumen als Matrix
  • Wiederholung und Beispiele: Koordinaten von Vektorräumen, Matrizen und Lineare Abbildungen
  • Die Abbildungen $L$ und $M$

§10 Basiswechsel

  • Definition und Charakterisierung invertierbarer Matrizen
  • Die allgemeine lineare Gruppe
  • Koordinatenwechsel, Koordinatenübergangsmatrizen

§11 Kern, Bild und Rang

  • Definition von Kern, Bild und Rang
  • Die Dimensionsformel
  • Charakterisierung von isomorphen Abbildungen zwischen Vektorräumen gleicher Dimension
  • Normalform von Abbildungsmatrizen bei geeigneter Basiswahl

§12 Lineare Gleichungssysteme, Zeilentransformationen

  • lineare Gleichungssysteme und Matrizen
  • Zeilenoperationen und Elementarmatrizen
  • Zeilenstufenform, Gauss-Algorithmus
  • Rang, Zeilenrang und Lösbarkeit von Gleichungssystemen
  • Gleichheit von Rang und Zeilenrang
  • Kriterien für (eindeutige) Lösbarkeit eines Gleichungssystems
  • Berechnung der Lösungsmenge eines inhomogenen Gleichungssystems
  • Berechnung des Inversen einer invertierbaren Matrix

§13 Dualräume

  • Definition, Beispiele
  • Duale Basen
  • Die kanonische Abbildung eines Vektorraumes in seinen bidualen Raum
  • Unterräume und die zugehörigen Unterräume des Dualraumes
  • Rückzugsabbildungen. Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung vs. Darstellungsmatrix für den Rückzug bzgl. der dualen Basen
  • Das Bild einer Rückzugsabbildung und der Orthogonalraum des Kerns einer Abbildung

§14 Quotientenvektorräume

  • Definition durch eine universelle Eigenschaft
  • Existenz und Eindeutigkeit
  • Die Isomorphiesätze

§15 Komplexe und exakte Sequenzen

  • Definition: Komplex und Homologiegruppen
  • Definition: exakte Komplexe, kurze Exakte Sequenzen
  • Satz: jede kurze exake Sequenz von Vektorräumen spaltet

§16 Gruppenwirkungen

  • Anschauliche Erläuterung
  • Definition, Notation
  • Beispiele
  • Die Translationsabbildung eines Gruppenelementes
  • Der Orbit einer Gruppenwirkung
  • Die von Orbiten erzeugte Äquivalenzrelation

§17 Die Symmetrischen Gruppen

  • Definition
  • Schreibweisen für Permutationen I: Tabellenschreibweise
    • Die Größe der symmetrischen Gruppen
  • Schreibweisen für Permutationen I: Zykelschreibweise
    • Schreibweise einer Permutation als Verknüpfung disjunkter Zykel
    • Zusammenhang: Zykel in der Schreibweise einer Permutation $s$ und Bahnen der von $s$ erzeugten Untergruppe
    • Disjunkte Zykel kommutieren
  • Beschreibung der Konjugationswirkung der symmetrischen Gruppe, Klassifikation der Bahnen durch Partitionen
  • Das Signum einer Permutation
    • Definition des Signums durch Fehlstände
    • Die Signumsabbildung ist ein Gruppenmorphismus
  • Die Alternierenden Untergruppe

§18 Die Determinante

  • Definition
  • Erste Eigenschaften von Determinanten
  • Eindeutigkeit
  • Rechenregeln: der Determinantenmultiplikationssatz.
  • Die Determinante als Gruppenmorphism $Gl_n(k) \to k^*$. Die spezielle lineare Gruppe.
  • Mehr Rechenregeln.
  • Die Formel für das Inverse einer Matrix
  • Die Cramersche Regel zum Lösen von Gleichungssystemen
  • Der Entwicklunssatz von Laplace

§19 Eigenwerte und Eigenvektoren

  • Ausführlicher Erläuterung und Überblick über das Problem
  • Definiton von Eigenwerten, Eigenvektoren und Eigenräumen
  • Lineare Unabhängigkeit von Eigenvektoren zu unterschiedlichen Eigenwerten
  • Die Schnittmenge von Untervektorräumen ist trivial
  • Zusammenhang: Eigenwerte und Verschwindung von Determinanten
  • Definitionen
    • Endomorphismen
    • die Determinante eines Endomorphismus
    • Eigenwerte, Eigenvektoren und Eigenräume von Matrizen
  • Eigenwerte und Nullstellen des charakteristischen Polynoms
  • Verfahren zur Eigenwertbestimmung, und zur Bestimmung von Eigenräumen