WS1920: Proseminar $p$-adische Zahlen

Dieses Proseminar verknüpft Analysis und Zahlentheorie. Die Analysis beruht ganz wesentlich auf dem Begriff der $\varepsilon$-Umgebung – Zahlen sind „nah“, wenn ihre Differenz einen kleinen Betrag hat. Man kann allerdings auch ganze Zahlen „nah“ nennen, wenn ihre Differenz durch eine hohe Potenz einer Primzahl $p$ teilbar ist. Ähnlich wie die reellen Zahlen aus den rationalen entstehen, indem man fordert, dass alle Cauchyfolgen konvergieren sollen, kann man die rationalen Zahlen auch erweitern, indem man dasselbe für diesen völlig anderen Begriff von $\varepsilon$-Umgebung fordert. Und genau dies sind die berühmten $p$-adischen Zahlen. Es gibt Folgen, die nicht in den reellen Zahlen konvergieren, aber in den $p$-adischen – und sogar Folgen, die sowohl $p$-adisch wie auch reell konvergieren, aber mit unterschiedlichen Grenzwerten.

Ein Großteil der klassischen Analysis lässt sich auch für die $p$-adischen Zahlen entwickeln, und sehr vieles ist ganz ähnlich zur üblichen Analysis, und gleichzeitig doch auch ganz anders. Man muss sich selbst damit beschäftigen, um diese spannenden Phänomene wirklich verstehen zu können. Und genau dies wollen wir in diesem Proseminar tun.

Vortragsliste

TerminThemaReferenz
1 Bewertete Körper[2, §1.2], [1, §2.1 und 2.2], [4, §2]
2 Nicht-archimedische Geometrie[1, §2.3], [4, §3]
3 Topologischer Exkurs[5], [6]
4 Bewertungsringe[1, §2.4], [4, §4]
5 Satz von Ostrowski[1, §3.1], [4, §5]
6 Vervollständigung[1, §3.2], [4, §6]
7+8 Struktur von $\mathbb Q_p$[1, §3.3], [4, §7]
9+10 Das Henselsche Lemma[1, §3.4], [4, §8]
11  Folgen und Reihen [2, §3.1], [1, §4.1, §4.2]
12 $p$-adische Potenzreihen[2, §3.2], [1, §4.2, §4.3], [4, §9]
13 $p$-adische Exponentialfunktion und $p$-adischer Logarithmus[2, §3.3, §3.4], [1, §4.5], [3, Satz II.5.3 und 5.5]

Literatur

  1. Gouvêa, F.Q.: $p$-adic Numbers (Second edition), Springer Universitext, 1997
  2. Jänich, K.: Topologie (8. Aufl.), Springer, 2005
  3. Katok, S.: $p$-adic Analysis Compared with Real, AMS, 2007
  4. Neukirch, J.: Algebraische Zahlentheorie, Springer, 1992
  5. tom Dieck, T.: Topologie (2. Aufl.), de Gruyter, 2011
  6. Werner, A.: Nicht-archimedische Zahlen, Vorlesungsskript WS 2012/13, abrufbar unter http://www.uni-frankfurt.de/50581207/nicht archi.pdf

Materialien

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